Argumen logika (Matematika Dsikrit)

 

Pokok bahasan kali ini adalah argumen yang ada dalam matematika dsikrit. Dalam hal ini argumen dalam matematika diskrit dianalisis untuk menentukan apakah argumen tersebut valid atau invalid. Berikut pembahasan detailnya.

Baca juga: LOGIKA: Disjungsi eksklusif, operasi logika di dalam komputer, proposiisi bersyarat (implikasi), bikondisional dan inferensi

Argumen

Arguman adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai

P1

P2

.

.

.  

Pn                                             

 ∴    q

yang dalam hal ini, p1, p2,......,pn disebut hipotesis(atau premis), dan q disebut konklusi.

Argumen ada yang sahih (valid) dan palsu (invalid). Catatlah bahwa kata “valid” tidal sama maknanya dengan “benar” (true).

 Sebuah argumen dikatakan sahih jika konklusi benar bilamana semua hipotesisnya benar, sebaliknya argumen dikatakan palsu (fallacy atau invalid).

Jika argumen sahih, maka kadang-kadang kita mengatakan bahwa secara logika konklusi mengikuti hipotesis atau sama dengan memperlihatkan bahwa implikasi 

(p1 ∧ p2 ∧ .... ∧ pn) → q

adalah benar (yaitu, sebuah tautologi). Argumen yang palsu menunjukkan proses penalaran yang tidak benar 

Contoh 1:

Perlihatkan bahwa argumen berikut:

“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.”

adalah sahih

Penyelesaian:

Misalkan p adalah proposisi “Air laut surut setelah gempa di laut” dan q adalah proposisi “tsunami datang”. Maka, argumen di dalam soal dapat ditulis sebagai:

p → q

p

∴  q

Ada dua cara yang dapat digunakan untuk membuktikan kesahihan argumen ini, keduanya menggunakan tabel kebenaran.

Cara 1: bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, dan p → q

Tabel 1. Tabel  kebenaran untuk p, q, dan p → q

Sahih jika semua hipotesisnya benar, maka konklusinya benar. Kita periksa apabila hipotesis p dan p → q benar, maka konklusi q juga benar sehingga argumen dikatakan benar. Periksa di Tabel 1, p dan p → q benar secara bersama-sama pada baris 1. Pada baris 1 ini q juga benar. Jadi, argumen yang berbentuk modus ponen di atas sahih.

Cara 2: perlihatkan dengan tabel kebenaran apakah

[p ∧ (p → q)] → q

merupakan tautologi. Tabel 2 memperlihatkan bahwa [p ∧ (p → q)] → q  suatu tautologi, sehingga argumen dikatakan sahih. 

Tabel 2. [p ∧ (p → q)] → q adalah tautologi

P	q	p → q	p ∧ (p → q)	p ∧ (p → q) → q
T	T	T	T	T
T	F	F	F	T
F	T	T	F	T
F	F	T	F	T

Perlihatkan bahwa penarikan kesimpulan di dalam argumen ini menggunakan modus ponen. Jadi, kita juga telah memperlihatkan bahwa modus ponen adalah argumen yang sahih.

Baca juga: LOGIKA (Matematika Diskrit) : Proposisi, Kombinasi proposisi, dan Hukum-hukum logika proposisi

Contoh 2:

Perlihatkan bahwa penalaran pada argumen berikut:

“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Jadi, air laut surut setelah gempa di laut."

tidak benar, dengan kata lain argumennya palsu.

Penyelesaian:

Argumen di atas berbentuk 

p → q

q

∴ p

Dari tabel 1 pada contoh 1 tampak bahwa hipotesis q dan p → q benar pada baris ke-3, tetapi pada baris 3 ini konklusi p salah. Jadi, argumen tersebut tidak sahih atau palsu, sehingga penalaran menjadi tidak benar.

Kita juga bisa menunjukkan dengan Tabel 3 bahwa [ q ∧ ( p → q )] → p bukan tautologi, sehingga argumen dikatakan tidak sahih.

Tabel 3. [ q ∧ ( p → q )] → p bukan tautologi

P	q	p → q	q ∧ ( p → q )	q ∧ ( p → q ) → p
T	T	T	T	T
T	F	F	F	T
F	T	T	T	F
F	F	T	F	T

Contoh 3:

Perika kesahihan argumen berikut ini:

Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima 

5 tidak lebih kecil dari 4.

∴ 5 adalah bilangan prima

Penyelesaian:

Misalkan p adalah proposisi “5 lebih kecil dari 4” dan q adalah proposisi “5 adalah bilangan prima.” Maka argumen di atas berbentuk:

p → ~q

~p

∴  q

Tabel 4 memperlihatakan tabel kebenaran untuk kedua hipotesis dan konklusi tersebut. Baris ke-3 dan ke-4 pada tabel tersebut adalah baris di mana p → ~q dan ~p benar secara bersama-sama, tetapi pada baris ke-4 konklusi q salah (meskipun pada baris ke-3 konklusi q benar). Ini berarti argumen tersebut palsu.

Perhatikanlah bahwa meskipun knklusi dari argumen tersebut kebetulan merupakan pernyataan yang benar (“5 adalah prima” adalah benar), tetapi konklusi dari argumen ini tidak sesuai dengan bukti bahwa argumen tersebut palsu.

Tabel 4. Tabel kebenaran untuk p → ~q, ~p, dan q

p	Q	~q	p→~q	~p
T	T	F	F	F
T	F	T	T	F
F	T	F	T	T
F	F	T	T	T

Contoh 4:

Periksa kesahihan argumen berikut ini:

Jika 17 adalah bilangan prima , maka 3 tidak habis membagi 17.

3 habis membagi 17.

∴ 17 bukan bilangan prima

Penyelesaian:

Misalkan p adalah proposisi “17 adalah bilangan prima” dan q adalah proposisi “3 habis membagi 17”. Maka argumen di atas berbentuk:

p → ~q

q

∴ ~p

Tabel 4 digunakan kembali untuk memperlihatkan tabel kebenaran untuk kedua hipotesis dan konklusi tersebut. Baris ke-3 pada tabel tersebut adalah baris di mana hipotesis p → ~q dan q benar secara bersama-sama. Pada baris ke-3 ini, konklusi ~p juga benar. Ini berarti argumen tersebut sahih.

Perhatikanlah bahwa meskipun argumen tersebut sahih, tetapi konklusi dari argumen tersebut kebetulan merupakan pernyataan yang salah (“17 bukan bilangan prima” adalah salah). Hal ini disebabkan karena premis yang salah (“3 habis membagi 17”) digunakan di dalam argumen, yang mengakibatkan konklusi dari argumen salah.

Contoh 4 ini memperlihatkan bahwa argumen yang sahih dapat mengarah ke konklusi yang salah jika satu atau lebih dari proposisi salah digunakan di dalam argumen. Moral dari cerita ini adalah bahwa pada suatu argumen yang benar kita tidak mengatakan bahwa konklusinya benar, kita hanya mengatakan bahwa jika kita menjamin hipotesisnya benar, maka kita juga menjamin konklusinya benar. 

Contoh 5:

Periksa kesahihan argumen berikut ini:

Jika saya menyukai Informatika, maka saya belajar sungguh-sungguh

Saya belajar sungguh-sungguh atau saya gagal.

∴   Jika saya gagal, maka saya tidak menyukai informatika.

Penyelesaian:

Misalkan p adalah proposisi “Saya menyukai Informatika” dan q adalah proposisi “Saya belajar sungguh-sungguh”, dan r adalah proposisi “Saya gagal”. Maka argumen di atas berbentuk:

p → q

q ∨ r   

∴  r → ~p

Tabel kebenaran untuk memeriksa kesahihan argumen tersebut ditunjukkan pada Tabel 5. Baris ke-1, 2, 6 dan 7 adalah baris di mana premis p → q dan q ∨ r benar secara bersama-sama, tetapu pada baris ke-1 konklusi r → ~ p salah (meskipun pada baris yang 2,6, dan 7 konklusi tersebut benar), sehingga argumen adalah palsu.

Tabel 5 tabel kebenaran untuk p → q, q ∨ r, dan r → ~p

p	q	r	p → q	q ∨ r	~p	r → ~p
T	T	T	T	T	F	F
T	T	F	T	T	F	T
T	F	T	F	T	F	F
T	F	F	F	F	F	T
F	T	T	T	T	T	T
F	T	F	T	T	T	T
F	F	T	F	T	T	T
F	F	F	F	F	T	T