LOGIKA (Matematika Diskrit) : Proposisi, Kombinasi proposisi, dan Hukum-hukum logika proposisi
LOGIKA
Kebijaksanaan adalah yang terbaik
(Anonim)
Pada kesempatan kali ini saya akan membahas mengenai materi logika. Logika merupakan studi penalaran. Dalam KBBI (Kamus Besar Bahasa Indonesia) logika adalah pengetahuan kaidah cara berpikir. Artinya berpikir secara rasional dan menemukan suatu jalan pikiran yang lurus, masuk akal.
Logika pertama kali dikembangkan oleh filsuf Yunani, Aristoteles, sekitar 2300 tahun yang lalu. Saat ini, logika mempunyai aplikasi yang luas di dalam ilmu komputer, misalnya dalam bidang pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan (artificial intelligence), perancangan komputer, dan sebagainya.
Pada materi logika ini saya akan memulai dengan definisi proposisi dan notasi yang digunakan untuk melambangkan proposisi, kemudian cara mengkombinasikan proposisi majemuk dan membentuk tabel kebenarannya, dll.
Baca juga: LOGIKA: Disjungsi eksklusif, operasi logika di dalam komputer, proposiisi bersyarat (implikasi), bikondisional dan inferensi
A. Proposisi
Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika, karena kalimat-kalimat tersebut belum tentu memiliki nilai kebenarannya. Hanya kalimat proposisi sajalah yang digunakan dalam penalaran.
Kalimat proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).
Tiga buah contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat mana yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.
Contoh A.1
Kalimat-kalimat berikut ini,
1. 6 adalah bilangan genap
2. Soekarno adalah Presiden Indonesia pertama
3. 4 + 4 = 8
4. Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Bandung
5. 12 ≥ 19
6. Kemarin banjir
7. Suhu di permukaan laut adalah 36 derajat Celcius
8. Pemuda itu tinggi
9. Kehidupaan hanya ada di planet Bumi
Semuanya merupakan proposisi. Proposisi 1 sampai 4 bernilai benar (true), tetapi proposisi 5 bernilai salah (false), untuk proposisi 6 sampai 9 tidak ditetapkan pasti nilai kebenarannya, namun proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin benar atau salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah. Misalnya, proposisi 6 bisa kita andaikan benar (kemarin memang banjir) atau salah (kemarin tidak banjir). Demikian untuk proposisi 7 dan 8. Proposisi 9 bisa benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan yang dapat memastikan kebenarannya.
Contoh A.2
Perhatikan kalimat-kalimat berikut ini,
a). Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
b). Serahkan uangmu sekarang!
c). x + 3 = 8
d). x > 3
Bukan proposisi. Kalimat a adalah kalimat tanya, sedangkan kalimat b adalah kalimat perintah, keduanya tidak memiliki nilai kebenaran. Dari contoh A.1 dan A.2 kita tahu bahwa kalimat proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat tanya, maupun kalimat perintah. Kalimat c dan d bukan proposisi karena kedua kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar atau salah sebab keduanya mengandung peubah (variabel) yang tidak dispesifikasikan nilainya. Tetapi kalimat
Untuk sembarang bilangan bulat n≥0, maka 2n adalah bilangan genap
adalah proposisi yang bernilai benar, karena kalimat tersebut merupakan cara lain untuk menyatakan bilangan genap. Begitu juga kalimat
x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil (R)
adalah proposisi karena kalimat tersebut merupakan cara lain untuk menyatakan hukum komutatif penjumlahan pada sistem bilangan riil. Dalam hal ini x dan y ytidak perlu diberi suatu nilai sebab proposisi tersebut pasti benar untuk x dan y berapa saja
Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi (propositional calculus) atau logika proposisi (propositional logic), sedangkan bidang logika yang membentuk proposisi pada pernyataan yang mengandung peubah seperti pada contoh A.2 c dibahas pada logika kalkulus predikat, walaupun pada pokok bahasan saya tidak membahas mengenai logika predikat, saya hanya akan memberikan sedikit pengetahuan mengenai logika predikat.
Logika predikat merupakan preluasan logika proposisi dimana objeknya itu berupa anggota kelompok. Logika predikat menganggap, proposisi sederhana sebagai entitas tunggal, sebaliknya logika predikat membedakan antara subjek dan predikat dalam sebuah kalimat. Contoh:
• Dinda mencuci piring → mencuci (Dinda, piring)
• 3 + 3 → +(3,3)
seperti itulah penjelasan singkat logika predikat.
Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf seperti p,q,r,.....Misalnya,
p : 6 adalah bilangan genap
Untuk mendefinisikan p sebagai proposisi "6 adalah bilangan genap".
Begitu juga untuk
q : Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama
r : 2 + 2 = 4
dan sebagainya.
B. Mengkombinasikan Proposisi
Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah and (dan), or (atau) , dan not (tidak). Dua operator pertama (and, or) dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner, karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.
Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik. Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh matematikawan Inggris yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam bukunya yang terkenal, The Laws of Thought. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganya didefinisikan sebagai berikut:
Definisi B.1.1. Misalkan p dan q adalah proposisi.
• Konjungsi (conjunction) p dan q, dinyatakan dengan notasi p ꓥ q, adalah proposisi
p dan q
• Disjungsi (disjunction) p dan q, dinyatakan dengan notasi p ꓦ q, adalah proposisi
p atau q
• Ingkaran atau negasi (negation) dari p, dinyatakan dengan notasi ~p, bisa juga "¬p , not p" adalah proposisi
tidak p
Notasi simbolik kombinasi proposisi:
ꓥ (dan)
ꓦ (atau)
~, ¬, not (tidak)
Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.
Contoh B.1
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
maka
p ꓥ q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah
p ꓦ q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah
~p : Hari ini tidak hujan
Contoh B.2
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan
q : Hari ini dingin
maka
q ꓦ ~p : Hari ini dingin atau hari ini tidak hujan
atau, dengan kata lain,"Hari ini dingin atau tidak hujan"
~p ꓥ ~q : Hari ini tidak hujan dan hari ini tidak dingin
atau, dengan kata lain,"Hari ini tidak hujan maupun dingin"
~(~p) : Tidak benar hari ini tidak hujan
atau, dengan kata lain,"Salah bahwa hari ini tidak hujan"
Contoh B.3
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan
Nyatakan proposisi beikut ke dalam ekspresi logika (notasi simbolik):
a) Pemuda itu tinggi dan tampan
b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
d) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan
Penyelesaian:
a) p ꓥ q
b) p ꓥ ~q (kata "tetapi" bermakna sama dengan "dan")
c) ~p ꓥ ~q
d) ~(~p ꓦ ~q)
e) p ꓦ (~p ꓥ q)
f) ~(~p ꓥ q)
C. Hukum-hukum Logika Proposisi
Proposisi, dalam kerangka hubungan ekivalensi logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum pada Tabel hukum-hukum aljabar proposisi. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil, misalnya a(b+c) = ab + bc, yaitu hukum distributif, sehingga kadang-kadang hukum
logika proposisi dinamakan juga hukum-hukum aljabar proposisi.
Hukum-hukum diatas bermanfaat untuk membuktikan keekivalenan dua buah proposisi. Selain menggunakan tabel kebenaran, keekivalen dapat dibuktikan dengan hukum-hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai n buah proposisi atomik, maka tabel kebenarannya terdiri dari 2n baris
Untuk n yang besar jelas tidak praktis menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n = 10 terdapat 210 baris di dalam tabel kebenarannya.
Contoh C.1
Tunjukkan bahwa p ꓦ ~(p ꓦ q) dan p ꓦ ~q keduanya ekivalen secara logika
Penyelesaian:
p ꓦ ~(p ꓦ q) = p ꓦ (~p ꓥ ~q)
= (p ꓦ ~p) ꓥ (p ꓦ ~q)
= T ꓥ (p ꓦ ~q)
= p ꓦ ~q
Contoh C.2
Buktikan hukum penyerapan: p ꓥ (p ꓦ q) = p
Penyelesaian:
p ꓥ (p ꓦ q) = (p ꓦ F) ꓥ (p ꓦ q)
= p ꓦ (F ꓥ q)
= p ꓦ F
= p
Comments
Post a Comment