VEKTOR : Pengertian vektor, jenis-jenis vektor, modulus vektor, operasi vektor, pembuktian dot product

 Vektor

Pada tahun 1827 Mobius (August Ferdinand Mobius) mempublikasikan Der Barycentrische calcu, sebuah buku geometri yang mengkaji transformasi garis dan irisan kerucut. Fitur baru dalam hasil karya ini adalah pengenalan koordinat barycentric. Pada tahun 1837 Mobius mempublikasikan buku tentang statika di mana ia secara gamblang menyatakan idenya tentang penyelesaian masalah besaran vektor bersama dengan sumbu koordinat.

• Pengertian vektor 

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai/besar dan arah. Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor.

• Jenis-jenis vektor

1. Vektor nol adalah vektor yang besarnya nol satuan dan arahnya tak tentu.
2. Vektor posisi adalah posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi.

Vektor posisi titik A adalah vektor yang titik pangkalnya di 0 dan ujungnya di titik A. vektor posisi dari titik A dilambangkan dengan  atau .

Sembarang vektor  dapat dinyatakan dalam bentuk hasil pengurangan dari vektor posisi:

 =

3. Vektor basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu                      koordinat.

- Vektor basis yang searah dengan sumbu x dinamakan vektor

- Vektor basis yang searah dengan sumbu y dinamakan vektor

- Vektor basis yang searah dengan  sumbu z dinamakan vektor

4. Vektor satuan adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan . Vektor satuan dari = (v1, v2) adalah v=   =   = (v1, v2)

Secara aljabar sebuah vektor dapat dinyatakan dengan salah satu cara, sebagai berikut:

• Vektor kolom (matriks kolom)

 A =     dan B =    k

• Vektor baris (matriks baris)

 A (xA,yA,zA) dan B (xB,yB,zB)

• Vektor basis

A (xA+yA+zA) dan B (xB  +yB+zB)

• Modulus vektor (panjang vektor)

Jika A (xA,yA,zA) dan B (xB,yB,zB) maka panjang vektor OA adalah OA ataau , yaitu:

Jika A xA,yA,zA) dan B (xB,yB,zB) maka panjang vektor adalah atau yaitu : ||

| | =

Dan panjang vektor adalah :

|( | =

• Pembagian ruas garis vektor

Diketahui ruas garis AB. Titik P terletak pada ruas garis tersebut sedemikian hingga AP:PB = m:n

 Maka =

→ 

→nAP = mPB

→n() = m()

→ =

→(n + m) =

Sehingga kita mendapatkan persamaan =

• Operasi vektor 

1. Perkalian vektor dengan bilangan riil

Diketahui vektor   dan k ∈ R

Secara geometris vektor k. adalah vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dan arahnya searah dengan vektor .

Secara aljabar, jika =     maka : k. = k  =    

2. Penjumlahan vektor

Diketahui vektor dan . Secara geometris vektor dan dapat dijumlahkan dengan cara sebagai berikut:

Dengan aturan jajargenjang

Contoh:

Dengan aturan segitiga

Contoh:  

Jika=(xA,yA,zA) dan  =(xB,yB,zB)

3. Pengurangan vektor

Diketahui vektor a dan b. pengurangan vektor a-b dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan vektor , dengan vektor adalah vektor yang panjangnya sama dengan vektor  dan arahnya berlawanan dengan vektor 

Contoh:

 Jika = (xA,yA,zA) dan = (xB,yB,zB)

Secara aljabar hasil pengurangan , adalah:

=(xA-xB,yA-yB,zA-zB)

• Perkalian skalar dua vektor (dot product)

Perkalian skalar dua vektor adalah perkalian skalar antara vektor dan adalah (vektor dot atau perkalian titik dengan  ), dengan :

=|a||b|  cosα

Dengan α adalah sudut antara vektor dan . Jika=(xA,yA,zA) dan =(xB,yB,zB), maka:

   = xA.xB+yA.yB+zA.zB, 

Sifat-sifat perkalian skalar:

=

=0, jika dan hanya jika a=0, atau b=0 atau tegak lurus dengan

Pembuktian dot product 

Sesuai aturan kosinus segitiga:

Jadi:

2.|u|.|v|cosα    = 

.......................=  – |w||w| → |w||w|=(v-u)(v-u)= - vu - vu + 

                 =  - 2vu

Sehingga, 

→2.|u|.|v|cosα = – ()

→2.|u|.|v|cosα =  

→2.|u|.|v|cosα = 2vu   (dibagi)

→ v.u= |u|.|v|cosα  (terbukti)

• Proyeksi ortogonal

Proyeksi ortogonal vektor pada vektor adalah bayangan tegak lurus dari vektor pada vektor

Ada dua macam proyeksi vektor ortogonal, yaitu:

1. Proyeksi vektor

Proyeksi vektor ortogonal dan hasilnya adalah vektor bayangannya, yaitu vektor   , dengan:

= 

Proyeksi ortogonal dan dapat ditulis

2. Proyeksi skalar ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal pada vektor hasilnya adalah panjang (modulus) dari vektor bayangannya, yaitu , dengan

=