Relasi dan Fungsi

A. Pengertian Relasi

Relasi adalah hubungan antara satu elemen himpunan dengan elemen himpunan lain. 

Dari gambar di atas merupakan contoh dari suatu relasi himpunan, dapat dilihat bahwa himpunan x, yaitu {A,B,C,D} itulah yang disebut sebagai elemen-elemen dalam suatu himpunan, sama seperti pada himpunan y. Pada f : x → y, artinya fungsi himpunan x memetakan ke himpunan y, namun pada bagian selanjutnya akan dibahas lebih lanjut.

B. Bentuk Penyajian Relasi

Bentuk penyajian relasi ada beberapa macam yaitu bentuk diagram panah, tabel, dan matriks. Namun untuk bentuk penyajian dengan matriks belum akan dibahas di tingkatan Kelas 10. Jadi yang kita akan bahas hanya dua bentuk penyajian relasi, yaitu diagram panah dan tabel.

1. Diagram Panah

Misalkan himpunan A = {a,b,c,d} dan himpunan B = {1,2,3}, R = {(a,1),(b,2),(c,3),(d,2)}. 

Jika R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka dapat digambarkan sebagai berikut :

2. Tabel

Misalkan himpunan A = {a,b,c,d} dan himpunan B = {1,2,3}. R = {(a,2),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}.

Jika relasi direpresentasikan dengan tabel, maka kolom pertama tabel menyatakan daerah asal (himpunan A), sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil (himpunan B).

C. Sifat Relasi

1. Refleksi, bila (a,a) $\epsilon\,$ R untuk setiap a $\epsilon\,$ A.  

Misalkan A = {1,2,3,4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka 

a. Relasi R =  {(1,1),(1,4),(2,1)(2,2),(3,2),(3,3),(4,2),(4,4)}, bersifat refleksi karena terdapat elemen yang berbentuk (a,a), yaitu {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.

b. Relasi R = {(1,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}, tidak bersifat refleksi karena (3,3) bukan elemen R

2. Simetris, bila untuk (a,b) $\epsilon\,$ R, berlaku (b,a) $\epsilon\,$ R.

Misalkan A = {1,2,3,4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

a. Relasi R {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2,),(2,3),(2,4),(3,2)(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}, bersifat simetris karena terdapat elemen berbentuk (a,b), yaitu (1,2) dan (2,1), (2,3) dan (3,2), (3,4) dan (4,3).

b. Relasi R {(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} tidak simetris karena (2,3) $\epsilon\,$ R, tetapi (3,2) bukan $\epsilon\,$ R.

3. Anti simetris, bila untuk (a,b) $\epsilon\,$ R dan (b,a) $\epsilon\,$ R hanya berlaku jika a=b.

a. Relasi R {(1,1),(2,2),(3,3)} anti simetris karena (1,1) $\epsilon\,$ R dan 1=1, (2,2) $\epsilon\,$ R dan 2=2, (3,3) $\epsilon\,$ R dan 3=3. Perhatikan juga bahwa R simetris.

b. Relasi R {(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} anti simetris karena (1,1) $\epsilon\,$ dan (2,2) $\epsilon\,$ R dan 2=2. 

Sekilas jika dilihat anti simetris mirip dengan refleksi, namun perlu diluruskan bahwa refleksi dalam relasi elemen-elemen himpunannya terhadap elemen himpunan lain, harus setiap elemennya memiliki  relasi {a,a}, sedangkan anti simetris relasi elemen himpunan dengan elemen himpunan lainnya, bisa setiap elemen himpunan tersebut memiliki relasi {a,a} dan juga bisa setiap atau salah satu elemennya  tidak memiliki relasi {a,a}.

4. Transitif, bila untuk (a,b) $\epsilon\,$ R dan (b,c) $\epsilon\,$ R berlaku (a,c) $\epsilon\,$ R.

Misalkan A = {1,2,3,4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka relasi R = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} bersifat transitif. Untuk membuktikan bahwa relasi tersebut bersifat transitif bisa diperiksa dengan membuat:

D. Fungsi

Fungsi adalah relasi himpunan A ke himpunan B, dimana relasi tersebut memiliki sebuah fungsi yang akan menghubungkan setiap elemen himpunan A tepat satu dan hanya satu pada himpunan B.

Jadi, syarat suatu himpunan dikatakan sebagai fungsi apabila setiap elemen suatu himpunan memasangkan tepat satu dengan himpunan lain.

Misalkan A = {a,b,c,d}, B = {1,2,3}.

Gambar (A) di atas  merupakan himpunan yang memiliki fungsi, karena setiap elemen himpunan x  memasangkan tepat satu dengan elemen di himpunan y. Sedangkan pada gambar (B) merupakan himpunan yang tidak memiliki fungsi, karena terdapat elemen himpunan x yang memiliki pasangan lebih dari satu pada himpunan y.

Pada suatu fungsi f : x → y. Himpunan x disebut sebagai daerah asal (domain) dari f, ditulis x = $D_{f},$. Himpunan y disebut daerah kawan (kodomain) dari f, artinya daerah elemen-elemen yang akan menjadi pasangan atau kawan dari daerah asal (domain). Range dari f merupakan suatu himpunan bagian y yang merupakan himpunan semua peta dari f.

Dari fungsi yang ditunjukkan oleh diagram panah di bawah ini, domain = {a,b,c,d}, kodomain = {1,2,3}, dan range = {1,3}.