PERSAMAAN DAN SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

 

PERSAMAAN DAN SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

Sebelum kita membicarakan secara panjang lebar tentang persamaan yang berkaitan dengan harga mutlak, dan baru saja kita membahas konsep harga mutlaknya, maka pada kesempatan yang sekarang ini secara singkat kita akan mengingat kembali konsep persamaannya.

BACA JUGA : RANGKUMAN KONSEP NILAI MUTLAK

• Persamaan 

Sebagaimana kita ketahui bahwa persamaan (equation) adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan “sama dengan”(ditulis “=”).

Contoh:

a).\(2x\) – 7 = 3

b). \(x^{2}\) + x - 6 = 0

c). |x + 1| = 3

Dari ketiga contoh di atas sebagai variabelnya adalah x dan suku-suku konstantanya atau konstana adalah suku-suku yang tidak mengandung variabel. Pada persamaan (a) hanya berlaku untuk x = 5, dan pada persamaan (b) berlaku untuk x = 2 dan x = 3. Sedangkan untuk persamaan (c) berlaku untuk x = 2 dan x = -4 

• Kesamaan 

 Sebaliknya, kesamaan (equality) adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan “sama dengan”, dan berlaku untuk setiap nilai pengganti variabelnya.

Contoh 4 :

a). \((2x – 1)^{2}\) = 4\(x^{2}\) – 4x + 1

b). 4\(x^{3}\) – 9 = (2x + 3)(2x – 3)

c). || - 3 | + x | = |3 + x |

Jelas bahwa untuk bentuk-bentuk kesamaan selalu berlaku untuk setiap pengganti variabelnya. Jadi kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang nilai kebenarannya selalu benar.

Ada pula yang membedakan persamaan dengan kesamaan, yaitu dengan memakai lambang “=” untuk persamaan, dan lambang “ ≡ ” untuk kesamaan. Jadi, untuk beberapa contoh kesamaan dalam contoh 4 di atas ada pula yang menulisnya seperti berikut.

a). \((2x – 1)^{2}\) ≡ 4\(x^{2}\) – 4x + 1

b). 4\(x^{3}\) – 9 ≡ (2x + 3)(2x – 3)

c). || - 3 | + x | ≡ |3 + x |

• Persamaan Harga Mutlak

Nah sekarang kita akan membahas beberapa sifat nilai mutlak sekaligus dengan penerapannya dalam persamaan.

Perlu juga diperhatikan bahwa dalam melakukan pembuktian dalam teorema-teorema nilai mutlak perlu diingat bahwa definis nilai mutlak sama dengan nilai yang berbentuk akar pangkat. Contoh:

 

 Akar pangkat pun juga seperti itu

                    

Mengapa begitu?

Pembuktian:

\(\sqrt ( 2 )^2\) = ±2, dimana nilainya bisa 2 yaitu \(( 2 )^2\) = 4 dan bisa -2 yaitu \((-2)^2\) = 4

Perhatikan definisi harga mutlak dan beberapa teorema (sifat) harga mutlak:

• Teorema 1

Untuk setiap bilangan real x berlaku

a). | x | = | -x |

b). \(|x|^{2}\) = \(|- x|^{2}\) = \(x^{2}\)

Bukti:

a). | x | = \(\sqrt (x)^{2}\) = x

      = \(\sqrt (-x)^{2}\) = \(| - x |\) = x (sama)

b). \(| x |^{2}\) = \(\sqrt (x^{2})^{2}\) = \(( x )^{2}\) jika x ≥ 0

                                = \(( - x)^2\) jika x < 0

                                = \(x^2\)…………………(1)

     \(| x |^2\) = \(\sqrt (x^2)^2\) = \(( x )^2\) sebab x2 ≥ 0

                               = \(x^2\)……………………(2)

Dari ( 1 ) dan ( 2 ):

\(| x |^2\) . \(| x^2|\) = \(x^2\)

• Teorema 2

Untuk setiap bilangan real x berlaku:

a). | xy | = | x |.| y |

b). \(|\frac{x}{y}|\) = \(\frac{|x|}{|y|}\)

c). | x – y |= | y – x |

Bukti:

a). | xy |= \(\sqrt (xy)^2\)                     

                =\(\sqrt (x^2y^2)\)

                = \(\sqrt (x^2)\) . \(\sqrt (y^2)\)

                = | x |.| y |

atau  | x |.| y |= \(\sqrt (x^2)\). \(\sqrt (y^2)\)

                           = \(\sqrt (x^2y^2)\)

                           = \(\sqrt (xy)^2\)

                           = | xy |

b). \(|\frac {x}{y}|\) = \(\sqrt (\frac {x}{y})^2\)

            = \(\sqrt {\frac {(x)^2}{(y)^2}}\)

            = \(\frac {\sqrt (x)^2}{\sqrt(y)^2}\)

            = \(|\frac {x}{y}|\)

Atau \(|\frac {x}{y}|\)=\(\frac {\sqrt (x)^2}{\sqrt(y)^2}\)

               = \(\sqrt {\frac {(x)^2}{(y)^2}}\)

               = \(\sqrt (\frac {x}{y})^2\)

               = \(|\frac {x}{y}|\)

Untuk membuktikan teorema 2 (c) dipersilahkan kepada anda sebagai latihan dan jika mengalami kesulitan bisa anda menanyakan kami di contact us

Contoh :

Carilah himpunan penyelesaian dari

| y + 1 |= 2y – 3

Penyelesaian :

Cara 1 : \(|y + 1 |^2\) = \(( 2y – 3)^2\)

               \((y + 1)^2\) = \(( 2y – 3)^2\)  (teorema 1(b))

Cara 2 : \(\sqrt ((y+1))^2\) = 2y -3        (definisi)

\((y + 1)^2\) = \((2y – 3)^2\)

{\((y + 1)^2\) – \((2y – 3)^2\) }= 0

(\(y^2\) + 2y + 1) – (\(4y^2\) – 12y + 9) = 0

( \(-3y^2\) + 14y - 8) = 0 (dibagi dengan -1 supaya a positif)

(\(3y^2\) – 14y + 8) = 0

(3y - 2)(3y - 12) = 0

(3y - 2)(y – 4) = 0

Sehingga \(y_1\) = \(\frac {2}{3}\) dan \(y_2\) = 4

Selanjutnya untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang materi kegiatan

belajar ini, cobalah Anda kerjakan soal-soal latihan 1 berikut ini.

1. Hitunglah -|13 - ( 4 – 7 ) – |13 – 3||

2. Carilah himpunan penyelesaian |3x + 2|= 5

3. Carilah himpunan penyelesaian | x | + |x -5|= 5

4. Buktikanlah, bahwa untuk setiap bilangan real x dan y berlaku | x |=| y | untuk (x = ±y )

5. Carilah himpunan penyelesaian | 2x – 1 |= |4x + 3|.

BACA JUGA : RANGKUMAN KONSEP NILAI MUTLAK